Степенные ряды. Теорема Абеля.

Степенным рядом именуется многофункциональный ряд вида

, (1)

где неизменные именуются коэффициентами степенного ряда.n-ным членам степенного ряда именуют членам , хотя он стоит в степенном ряде на n +1- месте.

Аксиома Абеля.Если степенной ряд (1) сходится в точке , то он сходится абсолютна в интеграле (- ) т.е. при всяком х, удовлетворяющем условию ; если степенной ряд (1) расползается Степенные ряды. Теорема Абеля. точки , то он расползается при всяком х , удовлетворяющим условию .

Из аксиомы Абеля следует, что все точки сходимости размещены от начала координат не далее, чем неважно какая из точек расходимости заполняют некий интервал с центром сначала координат.

Для каждого степенного ряда, имеющего точки сходимости и расходимости, имеются положительное число R Степенные ряды. Теорема Абеля., что для всех х, удовлетворяющих условию , ряд сходится а для всех х, удовлетворяющих условию , ряд расползается. И это число Rназывается радиусом сходимости степенного ряда (1), а интервал (-R,R) –интервалом сходимости. При R= х ряд может сходится, может и расползается и для установления его сходимости.

Радиусы сходимости степенных рядов Степенные ряды. Теорема Абеля. инсталлируются последующими методами. Составляются ряд из абсолютных величин членов степного ряда (1):

(2)

Для определения сходимости ряда с положительными членами (2) применяется признак Даламбера. Пусть существует предел

.

Тогда по признаку Даламбера ряд (2) сходится при , и расползается при . Как следует, начальный ряд (1) сходится полностью, если , и расползается . Потому интервалом сходимости степенного ряда Степенные ряды. Теорема Абеля. (1) будет (-R,R) , где

. (3)

Радиус сходимости степенного ряда (1) определяется также с применением признаком Коши по формуле

(4)

Аксиома 1. Степенные ряды можарируем на любом отрезке [-α, α], полностью лежащим снутри интервала сходимости (- R,R).

Аксиома 2.Сумма можарируемого степного ряда S(x) есть функция, имеются снутри интервала сходимости (-R,R) производные хоть какого порядка, любая из Степенные ряды. Теорема Абеля. которых есть сумма ряда, приобретенного по членном дифференцированием данного ряда соответственное число ряд, при всем этом каждый ряд имеет один и тот же интервал сходимости (-R,R).

Аксиома 3.Можарируемый степенной ряд (1) можно почленно интегрировать, если пределы интегрирования α, β лежат снутри интервала сходимости (-R,R) , и интеграл от суммы S(x) ряда равен Степенные ряды. Теорема Абеля. сумме интегралов о членов ряда.

Степенным рядом также именуется многофункциональный ряд вида

(5)

ряд (5) есть степенной ряд по степенным бинома (x-a).

Для определения области сходимости ряда (5) вводится подмена переменного x-a=X и он воспринимает вид

(6)

Пусть интервал сходимости ряда (6) есть (-R,R). Тогда интервалом сходимости данного ряда (5) будет интервал (a Степенные ряды. Теорема Абеля.-R, a+R) с центром в точке a. Все характеристики степенного ряда (1) снутри интервала сходимости (-R,R) сохраняется и для степенного ряда (5) снутри интервала сходимости (a-R, a+R).

Пример 1. Отыскать область сходимости многофункционального ряда

Решение:

Данный ряд является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем Таковой ряд сходится Степенные ряды. Теорема Абеля., если т.е. при Потому областью сходимости исследуемого ряда, является интервал. т.к. то .

т.к. каждому соответствует некое число ­– сумме числового ряда, то обозначенное соответствие определяет функцию которая именуется суммой ряда (1) в области .


sterini.html
sterlitamakskij-rabochij-stranica-5.html
sternin-ia-krizis-ili-razvitie-fragmenti.html